化简 (x + 1)(x + 1)(x + 1)(x + 1) − (x + 3)(x + 3)(x + 3)(x + 3) − 272。

Step-by-step solution

1. 1

   先把重复相乘写成四次幂。 每一组里的四个相同因式，其实就是幂：

   $(x+1)(x+1)(x+1)(x+1)=(x+1)^4,\qquad (x+3)(x+3)(x+3)(x+3)=(x+3)^4$

2. 2

   用二项式定理分别展开。 系数取 $1,4,6,4,1$：

   $(x+1)^4=x^4+4x^3+6x^2+4x+1$

   $(x+3)^4=x^4+4(3)x^3+6(9)x^2+4(27)x+81=x^4+12x^3+54x^2+108x+81$

   $3$ 的各次幂涨得很快——$3,9,27,81$——算术失误多半就出在这里。

3. 3

   逐项相减，注意负号要分配到整个第二个展开式上。

   $x^4-x^4=0,\quad 4x^3-12x^3=-8x^3,\quad 6x^2-54x^2=-48x^2,\quad 4x-108x=-104x$

   两个首项系数为 1 的四次幂相减时，最高次的 $x^4$ 总会抵消，所以结果降到 $3$ 次。

4. 4

   处理常数项，包括那个 $-272$。

   $1-81-272=-352$

   于是化简后的表达式是

   $-8x^3-48x^2-104x-352$

5. 5

   提出公因数 $-8$ 并验算。 每个系数都能被 $8$ 整除：

   $-8\left(x^3+6x^2+13x+44\right)$

   取 $x=0$ 检验：原式为 $1-81-272=-352$，化简后的形式也给出 $-352\;\checkmark$。取 $x=1$：原式为 $16-256-272=-512$，而 $-8-48-104-352=-512\;\checkmark$。这个三次因式在 $44$ 的因数里找不到有理根，所以整数范围内的因式分解到此为止。