解方程 (515 − 0.27x)(368 − 0.27x)(98 − 0.18x) − (515 − 0.27x)·98² − (98 − 0.18x)·270² = 0，求 x。

Step-by-step solution

1. 1

   先给三个一次因式起个简称。 记

   $A=515-0.27x,\qquad B=368-0.27x,\qquad C=98-0.18x,$

   再用上 $98^{2}=9604$ 和 $270^{2}=72900$，方程就是

   $ABC-9604A-72900C=0.$

   给因式起名能把繁琐的记账量压下来，也让公因式 $A$ 一眼可见。

2. 2

   展开 $BC$ 并合并。

   $BC=(368-0.27x)(98-0.18x)=36064-92.7x+0.0486x^{2},$

   所以 $BC-9604=26460-92.7x+0.0486x^{2}$，方程变成

   $(515-0.27x)\bigl(0.0486x^{2}-92.7x+26460\bigr)-72900(98-0.18x)=0.$

3. 3

   用精确分数完整展开。 把 $0.27=\tfrac{27}{100}$、$0.18=\tfrac{18}{100}$ 当分数算而不用小数，可以避免误差累积；结果是

   $-0.013122x^{3}+50.058x^{2}-41762.7x+6482700=0,$

   把原式乘上 $-\tfrac{500000}{6561}$，得到首一三次式 $x^{3}-\tfrac{103000}{27}x^{2}+\tfrac{2320150000}{729}x-\tfrac{120050000000}{243}=0$。

4. 4

   找出那个精确的根。 试一些能让括号里数值变整的取值：$x=\tfrac{24500}{27}$ 恰好使 $0.27x=245$，把它按精确分数代进三次式算得 $0$。所以 $\left(x-\tfrac{24500}{27}\right)$ 是一个因式，$x=\tfrac{24500}{27}=907.\overline{407}$ 是一个根。

5. 5

   除掉这个因式，再解二次方程。 综合除法之后剩下 $x^{2}-\tfrac{78500}{27}x+\tfrac{4900000}{9}=0$，即

   $27x^{2}-78500x+14700000=0,$

   判别式为 $78500^{2}-4(27)(14700000)=4574650000$。由于 $4574650000=10^{4}\cdot 457465$，而 $457465=5\cdot 91493$ 不含平方因子，两个根只能是无理数：

   $x=\frac{39250\pm 50\sqrt{457465}}{27}.$

6. 6

   写出三个根并验算。 数值上 $x\approx 201.1822413$、$x=907.4074074$、$x\approx 2706.2251661$。把它们分别代回原来的乘积形式，依次得到 $0$、$-9\times10^{-10}$ 和 $0$ —— 那点残差是在 $10^{6}$ 量级数值上的浮点噪声。如果展开时马虎，得出的是 $-41777.7x+6479700$，那就错了：那个三次式在 $24500/27$ 处并不为零。