分解因式 x² − 4x − y² − 6y − 5。
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分解因式
x2−4x−y2−6y−5x^{2}-4x-y^{2}-6y-5x2−4x−y2−6y−5
把含 x 的项和含 y 的项分别归组。 式子里没有交叉项 xyxyxy，这正是提示：它能化成两个完全平方之差：
(x2−4x)−(y2+6y)−5\left(x^{2}-4x\right)-\left(y^{2}+6y\right)-5(x2−4x)−(y2+6y)−5
注意 yyy 那一组前面的负号，会同时改变 y2y^2y2 和 6y6y6y 的符号。
对 x 配方。 x2−4x=(x−2)2−4x^2-4x=(x-2)^2-4x2−4x=(x−2)2−4。
对 y 配方。 y2+6y=(y+3)2−9y^2+6y=(y+3)^2-9y2+6y=(y+3)2−9，于是 −(y2+6y)=−(y+3)2+9-\left(y^{2}+6y\right)=-(y+3)^{2}+9−(y2+6y)=−(y+3)2+9。
把常数项重新合并。
(x−2)2−4−(y+3)2+9−5=(x−2)2−(y+3)2(x-2)^{2}-4-(y+3)^{2}+9-5=(x-2)^{2}-(y+3)^{2}(x−2)2−4−(y+3)2+9−5=(x−2)2−(y+3)2
三个散落的常数 −4+9−5-4+9-5−4+9−5 恰好抵消，这说明刚才的分组正是出题人预设的那一种。
套平方差公式。 令 A=x−2A=x-2A=x−2、B=y+3B=y+3B=y+3：
A2−B2=(A−B)(A+B)=[(x−2)−(y+3)][(x−2)+(y+3)]=(x−y−5)(x+y+1)A^{2}-B^{2}=(A-B)(A+B)=\big[(x-2)-(y+3)\big]\big[(x-2)+(y+3)\big]=(x-y-5)(x+y+1)A2−B2=(A−B)(A+B)=[(x−2)−(y+3)][(x−2)+(y+3)]=(x−y−5)(x+y+1)
(x−y−5)(x+y+1)\boxed{(x-y-5)(x+y+1)}(x−y−5)(x+y+1)
展开验证。 (x−y−5)(x+y+1)=x2+xy+x−xy−y2−y−5x−5y−5=x2−4x−y2−6y−5(x-y-5)(x+y+1)=x^2+xy+x-xy-y^2-y-5x-5y-5=x^2-4x-y^2-6y-5(x−y−5)(x+y+1)=x2+xy+x−xy−y2−y−5x−5y−5=x2−4x−y2−6y−5。✓
(x−y−5)(x+y+1)(x-y-5)(x+y+1)(x−y−5)(x+y+1)
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