|x + 1| + |x − 2| 的最小值是多少？

Step-by-step solution

1. 1

   把每个绝对值读成距离。 因为 $|x-a|$ 表示数轴上 $x$ 到 $a$ 的距离，把原式改写成

   $|x-(-1)|+|x-2|$

   它就是点 $x$ 到两个定点 $-1$ 和 $2$ 的距离之和。这样一改写，原本要分三种情况的代数讨论，就换成了一个几何事实。

2. 2

   想清楚距离之和什么时候最小。 如果 $x$ 落在 $-1$ 与 $2$ 之间，两段距离加起来恰好就是这两点之间的间距。如果 $x$ 落在这个区间之外，就得先往回走一段，总距离必然更大。

3. 3

   算出这个间距。

   $2-(-1)=3$

   所以最小值是 $3$，并且 $[-1,2]$ 中每一个 $x$ 都能取到它——不是只在某一个点上取到。

   $\boxed{3}$

4. 4

   用分段讨论确认一遍。 当 $x<-1$：$-(x+1)-(x-2)=1-2x>3$。当 $-1\le x\le 2$：$(x+1)-(x-2)=3$。当 $x>2$：$(x+1)+(x-2)=2x-1>3$。三段的结果既确认了最小值 $3$，也确认了中间那一段是平的。

5. 5

   再用三角不等式交叉验证。 $|x+1|+|x-2|=|x+1|+|2-x|\ge|(x+1)+(2-x)|=3$，取等号当且仅当 $x+1$ 与 $2-x$ 同号——也就是 $-1\le x\le 2$，与分段讨论的结论一致。随手取值看看：$x=0$ 时和为 $1+2=3$；$x=5$ 时为 $6+3=9$。