解不等式 x · log 以 1/3 为底 (1/2 − x) ≥ |x|。

Step-by-step solution

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   动手之前先把定义域定下来。 对数要求真数严格为正：

   $\frac12-x>0\quad\Longleftrightarrow\quad x<\frac12$

   下面所有讨论都在 $\left(-\infty,\tfrac12\right)$ 里进行，落在它外面的候选解自动作废。

2. 2

   按 $x$ 的符号分类，因为 $|x|$ 和不等号方向都取决于它。 记 $L=\log_{1/3}\!\left(\tfrac12-x\right)$，原不等式就是 $xL\ge|x|$。两边除以 $x$ 是最自然的一步，但 $x$ 的符号既决定 $|x|$ 化成什么，又决定不等号要不要反向，所以 $x>0$、$x=0$、$x<0$ 这三种情况必须分开处理。

3. 3

   情形 $x>0$。 此时 $|x|=x$，两边除以正数 $x$ 不改变方向：

   $L\ge 1$

   底数 $\tfrac13$ 小于 $1$，所以 $\log_{1/3}$ 是减函数：$\log_{1/3}t\ge 1$ 要反向变成 $0<t\le\left(\tfrac13\right)^{1}=\tfrac13$。于是

   $0<\frac12-x\le\frac13\quad\Longleftrightarrow\quad \frac16\le x<\frac12$

   再与 $x>0$ 取交集，得到 $\left[\tfrac16,\tfrac12\right)$。

4. 4

   情形 $x<0$。 此时 $|x|=-x$，把 $xL\ge-x$ 两边除以负数 $x$，不等号要反向：

   $L\le -1$

   仍然利用 $\log_{1/3}$ 递减，$\log_{1/3}t\le-1$ 变成 $t\ge\left(\tfrac13\right)^{-1}=3$：

   $\frac12-x\ge3\quad\Longleftrightarrow\quad x\le-\frac52$

   这样的 $x$ 全都是负数，而且都落在定义域内，所以整条射线 $\left(-\infty,-\tfrac52\right]$ 都是解。

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   情形 $x=0$——千万别跳过。 直接代入得 $0\cdot L=0$，而 $|0|=0$，不等式成了 $0\ge0$，成立。孤立点 $x=0$ 是货真价实的解，尽管它不属于前面任何一个区间；而它恰恰就是随手除以 $x$ 时最容易被丢掉的那个解。

6. 6

   汇总，再抽查验证。 解集为

   $x\in\left(-\infty,-\frac52\right]\cup\{0\}\cup\left[\frac16,\frac12\right)$

   检验两个端点：在 $x=-\tfrac52$ 处，$\tfrac12-x=3$，$\log_{1/3}3=-1$，左边等于 $(-\tfrac52)(-1)=\tfrac52=|x|$——取等号；在 $x=\tfrac16$ 处，$\tfrac12-x=\tfrac13$，$\log_{1/3}\tfrac13=1$，左边等于 $\tfrac16=|x|$——同样取等号。再在被排除的区域里取一个数试试，比如 $x=-1$，左边是 $(-1)\log_{1/3}\tfrac32\approx0.369$，小于 $|x|=1$，确实应当排除。