把 a 看作实参数，解不等式 a·x² + 2x + 1 > 0，并给出所有情形的解集。

Step-by-step solution

1. 1

   先把判别式算出来备用。 当 $a \ne 0$ 时，对 $f(x) = ax^2 + 2x + 1$ 有

   $\Delta = 2^2 - 4a(1) = 4 - 4a = 4(1-a)$

   $\Delta$ 的符号与 $a$ 的符号共同决定一切，所以分类就沿着这两个量展开。

2. 2

   先处理退化情形 a = 0。 二次项没了，不等式变成一次的：

   $2x + 1 > 0 \quad\Longrightarrow\quad x > -\frac{1}{2}$

   忘掉 $a$ 可能为零，是含参问题里最经典的漏解——二次项系数并没有被保证非零。

3. 3

   情形 a > 1（开口向上、无实根）。 此时 $\Delta = 4(1-a) < 0$ 且 $a > 0$，抛物线开口向上且不与 $x$ 轴相交：

   $ax^2 + 2x + 1 > 0 \ \text{ 对一切 } x \in \mathbb{R} \text{ 成立}$

4. 4

   情形 a = 1（完全平方）。 此时 $\Delta = 0$，且 $x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$，它除了唯一的零点外处处为正：

   $x \ne -1$

5. 5

   情形 0 < a < 1（开口向上、有两个根）。 此时 $\Delta > 0$，两根为

   $x = \frac{-2 \pm \sqrt{4-4a}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{1-a}}{a}$

   开口向上的抛物线在两根之外为正：

   $x < \frac{-1-\sqrt{1-a}}{a} \quad \text{或} \quad x > \frac{-1+\sqrt{1-a}}{a}$

6. 6

   情形 a < 0（开口向下）。 此时 $1 - a > 1$，所以 $\sqrt{1-a} > 1$ 且 $\Delta > 0$：仍有两个实根。开口向下的抛物线在两根之间为正。又因为除以负的 $a$ 会把两根的大小顺序调过来，有 $\tfrac{-1+\sqrt{1-a}}{a} < 0 < \tfrac{-1-\sqrt{1-a}}{a}$，于是解集是

   $\frac{-1+\sqrt{1-a}}{a} < x < \frac{-1-\sqrt{1-a}}{a}$

   取 $a = -1$ 验证一下：两根是 $\tfrac{-1 \pm \sqrt2}{-1}$，即 $-0.414214$ 与 $2.414214$；在中点 $x = 1$ 处原式为 $-1 + 2 + 1 = 2 > 0$，区间无误。