解方程 9^(x − 1/2) − 4/3^(1 − x) = −1，求 x。

Step-by-step solution

1. 1

   先把所有的幂化成同一个底数。 因为 $9=3^{2}$，

   $9^{\,x-\frac12}=\left(3^{2}\right)^{x-\frac12}=3^{\,2x-1}.$

   指数相乘正好把那个碍事的 $\tfrac12$ 清掉：$2\left(x-\tfrac12\right)=2x-1$，是个整数的平移。

2. 2

   用负指数把分母那一项挪到分子上。 因为 $\frac{1}{3^{\,1-x}}=3^{\,x-1}$，所以

   $\frac{4}{3^{\,1-x}}=4\cdot3^{\,x-1},$

   方程就变成

   $3^{\,2x-1}-4\cdot3^{\,x-1}=-1.$

   现在两个指数中含 $x$ 的部分正好差一个 2 倍，这就是「换元能把问题化简」的信号。

3. 3

   换元 $t=3^{\,x-1}$。 这样自动有 $t>0$，而且

   $3^{\,2x-1}=3^{\,2(x-1)+1}=3\left(3^{\,x-1}\right)^{2}=3t^{2}.$

   关键是别把多出来的那个因子 $3$ 弄丢：$2x-1$ 是 $2(x-1)+1$，不是 $2(x-1)$。

4. 4

   解这个二次方程。 方程成为 $3t^{2}-4t=-1$，即

   $3t^{2}-4t+1=0\;\Longrightarrow\;(3t-1)(t-1)=0\;\Longrightarrow\;t=\tfrac13\ \text{或}\ t=1.$

   两个根都是正的，所以一个都不用舍去——这一步值得检查，因为负数或零永远不可能等于 $3$ 的某个幂。

5. 5

   换回 x 并验证。 由 $3^{\,x-1}=\tfrac13=3^{-1}$ 得 $x-1=-1$，即 $x=0$；由 $3^{\,x-1}=1=3^{0}$ 得 $x=1$。代回原方程检验：$x=0$ 时 $9^{-1/2}-\tfrac{4}{3}=\tfrac13-\tfrac43=-1$ ✓；$x=1$ 时 $9^{1/2}-\tfrac{4}{3^{0}}=3-4=-1$ ✓。