求同时满足 x^2 + x - 6 < 0 与 x^2 + 4x - 12 > 0 这两个不等式的实数 x 的范围。

Step-by-step solution

1. 1

   先各解各的，再合起来。 不等式组求的是交集，所以思路是：先把每一行的解集求出来，再只保留同时落在两者之中的 $x$。从第一个式子的因式分解开始：

   $x^{2}+x-6=(x+3)(x-2)$

   两个根是 $x=-3$ 和 $x=2$。

2. 2

   从抛物线的开口读出第一个解集。 首项系数是 $+1$，抛物线开口向上，只在两根之间才落到横轴下方：

   $(x+3)(x-2)<0\quad\Longleftrightarrow\quad -3<x<2$

3. 3

   分解并解第二个不等式。 找一对数，乘积为 $-12$、和为 $4$，也就是 $6$ 和 $-2$：

   $x^{2}+4x-12=(x+6)(x-2)$

   两个根是 $x=-6$ 和 $x=2$。这次要的是式子在横轴上方，对开口向上的抛物线来说，那是两根之外的部分：

   $x<-6\quad\text{或}\quad x>2$

4. 4

   把两个集合求交。 候选值既要落在 $(-3,2)$ 里，又要落在 $(-\infty,-6)\cup(2,\infty)$ 里：

   $(-3,2)\cap(-\infty,-6)=\varnothing$

   因为凡是小于 $-6$ 的数早就小于 $-3$ 了。另外

   $(-3,2)\cap(2,\infty)=\varnothing$

   因为 $(-3,2)$ 恰好在 $2$ 之前止住，而另一个集合从它之后才开始。公共的那个根 $x=2$ 被两个严格不等号同时排除，所以它也救不了这个交集。

5. 5

   写出结论。 没有任何实数能同时满足这两个不等式，因此解集为空集：

   $x\in\varnothing$

   把 $-10$ 到 $10$ 之间以 $0.001$ 为步长的 $x$ 全部扫一遍，也找不到一个能同时通过两项检验的值，与这个结论一致。