因式分解 x⁴ + 2x³y + 3x²y² + 2xy³ + y⁴。

Step-by-step solution

1. 1

   先读一读系数的规律。 按顺序把系数列出来是

   $1,\;2,\;3,\;2,\;1$

   左右对称，而且这个式子是 $4$ 次齐次的——每一项的总次数都是 $4$。一个次数为 $4$ 的对称齐次式，强烈提示它是某个 $2$ 次齐次式的平方。

2. 2

   先摆出一般三项式的平方。 试 $\left(x^2+kxy+y^2\right)^2$，用 $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$ 展开，其中 $a=x^2$、$b=kxy$、$c=y^2$：

   $\left(x^2+kxy+y^2\right)^2=x^4+2kx^3y+\left(k^2+2\right)x^2y^2+2kxy^3+y^4$

3. 3

   比较系数。 与目标式对照：

   $2k=2\;\Longrightarrow\;k=1,\qquad k^2+2=1+2=3\;\checkmark$

   两个条件被同一个 $k$ 满足，这正是这个分解式之所以存在的原因。要是 $x^2y^2$ 的系数不是 $3$，就没有哪个 $k$ 能同时满足了。

4. 4

   写出分解式。

   $x^4+2x^3y+3x^2y^2+2xy^3+y^4=\left(x^2+xy+y^2\right)^2$

5. 5

   代数验证，并说明为什么不能再分。 取 $x=2$、$y=1$：原式为 $16+16+12+4+1=49$，而 $\left(4+2+1\right)^2=7^2=49\;\checkmark$。里面的因式 $x^2+xy+y^2$ 在实数范围内不能再分——把它看成关于 $x$ 的二次式，判别式是 $y^2-4y^2=-3y^2<0$——所以这就是完全分解。