解方程 x³ − 3x² + 3x − 1 = 0。

Step-by-step solution

1. 1

   把系数当成一行二项式系数来读。 它们的绝对值 $1,\ 3,\ 3,\ 1$ 是杨辉三角的第 3 行，而符号是正负交替的。这恰好就是下面这个展开式的样子：

   $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

2. 2

   把 a 和 b 对上。 取 $a = x$、$b = 1$，每一项都能复现出来：$x^3 - 3x^2(1) + 3x(1)^2 - 1^3$。于是

   $x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = (x-1)^3$

   看出这一点，就省掉了整套「试有理根再做除法」的流程。

3. 3

   解这个收拢后的方程。 一个立方等于零，只能是底数等于零：

   $(x-1)^3 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x - 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 1$

4. 4

   说明根的重数。 根 $x = 1$ 的重数是 $3$，所以尽管三次方程按重数计有三个根，互不相同的解却只有一个。这里 $f(1) = 0$，$f'(1) = 3(1)^2 - 6(1) + 3 = 0$，$f''(1) = 6 - 6 = 0$——前三阶（含函数值本身）依次为零，正是三重根在代数上的标志。

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   验算并留意图像。 $1 - 3 + 3 - 1 = 0$。由于重数是奇数，曲线在 $x = 1$ 处是穿过 $x$ 轴而不是与它相切，但穿过时斜率为零，于是在那里形成了标志性的平坦拐点。