把 x³ − 7x + 6 完全因式分解。

Step-by-step solution

1. 1

   先列出候选的有理根。 对于系数为整数的首一三次式，任何有理根都必须整除常数项 $6$：

   $\pm1,\ \pm2,\ \pm3,\ \pm6$

   式中没有 $x^{2}$ 项，这说明三个根之和为零（韦达定理）——试根时记着这个约束会很有用。

2. 2

   代入试出第一个根。 试 $x=1$：

   $1^{3}-7(1)+6=1-7+6=0\ \checkmark$

   所以 $x=1$ 是根；由因式定理，$x-1$ 能整除这个三次式。

3. 3

   除掉 $x-1$。 用系数 $1,\;0,\;-7,\;6$ 做综合除法（那个 $0$ 是给缺失的 $x^{2}$ 项占位的），得到

   $1\ \big|\ 1\quad0\quad-7\quad6\ \longrightarrow\ 1\quad1\quad-6\quad\boxed{0}$

   于是商为 $x^{2}+x-6$，余数为 $0$ ✓，说明除得尽：

   $x^{3}-7x+6=(x-1)\left(x^{2}+x-6\right)$

4. 4

   分解这个二次式。 找两个数，积为 $-6$、和为 $+1$：$3$ 和 $-2$ 正合适，因为 $3\times(-2)=-6$，$3+(-2)=1$ ✓：

   $x^{2}+x-6=(x+3)(x-2)$

5. 5

   拼起来并验证。

   $x^{3}-7x+6=(x-1)(x-2)(x+3)$

   在 $-30$ 到 $29$ 的每一个整数处都验证了这个恒等式 ✓。再用韦达定理核对：三根 $1,2,-3$ 之和为 $0$，与缺失的 $x^{2}$ 项吻合 ✓；三根之积为 $1\cdot2\cdot(-3)=-6=-\dfrac{\text{常数项}}{\text{首项系数}}$ ✓。