解不等式 (x³ + 1)(x² − 2) < x(x³ + 1)。

Step-by-step solution

1. 1

   把所有项移到一边——千万别两边同除以 $x^{3}+1$。 除以一个符号未知的式子，会在数轴的某些段上悄悄把不等号翻过来。正确做法是作差：

   $\left(x^{3}+1\right)\left(x^{2}-2\right)-x\left(x^{3}+1\right)<0$

   再把公因式 $x^{3}+1$ 提出来：

   $\left(x^{3}+1\right)\left(x^{2}-x-2\right)<0$

2. 2

   把两个因式都分解彻底。 一个是立方和，一个是简单的二次三项式：

   $x^{3}+1=(x+1)\left(x^{2}-x+1\right),\qquad x^{2}-x-2=(x-2)(x+1)$

   于是不等式变成

   $(x+1)^{2}\left(x^{2}-x+1\right)(x-2)<0$

   因式 $(x+1)$ 出现了两次，这是整道题在结构上的关键。

3. 3

   先把永远不变号的因式排掉。 $(x+1)^{2}\ge 0$ 恒成立，只在 $x=-1$ 处取到等号。而 $x^{2}-x+1$ 的判别式是 $(-1)^{2}-4=-3<0$，二次项系数又为正，所以它对每个实数 $x$ 都严格为正。这两个因式都不可能把乘积拉到负的一侧。

4. 4

   归结成一个符号条件。 把那两个非负因式搁到一边后，乘积为负当且仅当 $x-2<0$，并且这两个非负因式都不取零：

   $x<2\quad\text{且}\quad x\ne -1$

   在 $x=-1$ 处整个乘积等于 $0$，而 $0<0$ 不成立，所以必须把 $-1$ 挖掉。

5. 5

   写出解集。

   $(-\infty,-1)\cup(-1,2)$

   $x=2$ 同样不在解集里，因为不等号是严格的。

6. 6

   逐段抽查验证。 记 $g(x)$ 为左边减右边。则 $g(-3)=-260<0$、$g(0)=-2<0$（都落在解集内），而 $g(-1)=0$、$g(2)=0$（被排除在外），$g(3)=112>0$（在解集之外）。这同时说明图像在 $x=-1$ 处只是碰到零轴而不穿过——这正是偶重根的典型标志。