解方程 x/(x + 100) − (x + 25)/(x + 125) = 1/10。写出 x 的限制条件，并说明是否存在实数解。

Step-by-step solution

1. 1

   先把限制条件记下来。 分母永远不能为零，所以在动手做代数变形之前先记住

   $x\neq-100,\qquad x\neq-125.$

   任何碰上这两个值的候选解最后都得扔掉，所以现在写下来比事后才发现问题划算。

2. 2

   在公分母 $(x+100)(x+125)$ 上把两个分式合并。 把分子交叉相乘：

   $\frac{x(x+125)-(x+25)(x+100)}{(x+100)(x+125)}=\frac{1}{10}.$

   把两个乘积分别展开，

   $x(x+125)=x^{2}+125x,\qquad (x+25)(x+100)=x^{2}+125x+2500.$

3. 3

   看着分子塌缩成一个常数。 两个展开式只差一个常数项，所以 $x^{2}$ 和 $125x$ 两部分完全抵消：

   $\left(x^{2}+125x\right)-\left(x^{2}+125x+2500\right)=-2500.$

   方程化为

   $\frac{-2500}{(x+100)(x+125)}=\frac{1}{10}.$

   这是本题的关键结构：左边是常数除以一个二次式，而由于 $-2500<0$，左边只有在分母为负时才可能为正——也就是只可能在 $-125<x<-100$ 上。

4. 4

   交叉相乘，写出二次方程。 由 $-25000=(x+100)(x+125)=x^{2}+225x+12500$ 得

   $x^{2}+225x+37500=0.$

   判别式是

   $\Delta=225^{2}-4(1)(37500)=50625-150000=-99375<0,$

   所以这个二次方程没有实根，原方程也就没有实数解。

5. 5

   给出复数根，并确认它在实数范围失败的几何原因。 因为 $99375=625\cdot159$，所以 $\sqrt{-99375}=25i\sqrt{159}$，于是

   $x=\frac{-225\pm 25i\sqrt{159}}{2}.$

   把任一个根代回都能精确得到 $\tfrac{1}{10}$。从实变量的角度看它为什么不可能：在 $(-125,-100)$ 上乘积 $(x+100)(x+125)$ 的最小值是 $-\left(\tfrac{25}{2}\right)^{2}=-156.25$，所以在那里 $\frac{-2500}{(x+100)(x+125)}\ge 16$——永远小不到 $0.1$。