求方程 (x + 4)² + 17(x + 4) + 72 = 0 的实数解。

Step-by-step solution

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   要盯住重复出现的那个整体，而不是展开后的次数。 $x+4$ 先以平方出现、再以一次方出现，除此之外没有别的地方含 $x$。这正是「可化为二次」方程的标志：展开成 $x^2 + 25x + 156 = 0$ 当然也能做，但那样就把使分解变容易的结构给丢掉了。

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   令 $u = x + 4$ 换元。 把重复出现的整体换掉，方程就变成了一个普通的一元二次方程：

   $u^2 + 17u + 72 = 0$

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   对关于 $u$ 的二次式分解因式。 找两个数，使它们的积是 $72$、和是 $17$。由于 $8 \cdot 9 = 72$ 且 $8 + 9 = 17$：

   $(u+8)(u+9) = 0 \quad\Longrightarrow\quad u = -8 \ \text{ 或 } \ u = -9$

   判别式 $17^2 - 4(72) = 1 > 0$，也印证了确实有两个不相等的实根。

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   把换元换回去——这一步最容易被跳过。 题目要的是 $x$ 而不是 $u$，所以要把 $u = x+4$ 代回去：

   $x + 4 = -8 \ \Rightarrow \ x = -12, \qquad x + 4 = -9 \ \Rightarrow \ x = -13$

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   把两个值代回原方程检验。 当 $x=-12$：$(-8)^2 + 17(-8) + 72 = 64 - 136 + 72 = 0$；当 $x=-13$：$(-9)^2 + 17(-9) + 72 = 81 - 153 + 72 = 0$。由于这次换元只是一个平移（两边既没有平方也没有开方），所以不可能产生增根。