解不等式 (2 − 3x)(2x + 1) ≥ 0。

Step-by-step solution

1. 1

   保持因式形式 —— 不要展开。 式子本来就是两个一次因式的乘积，而乘积的符号完全由各因式的符号决定。展开成 $-6x^2+x+2$ 只会把活儿变难。

2. 2

   先找出每个因式的零点。

   $2-3x=0\Rightarrow x=\frac23,\qquad 2x+1=0\Rightarrow x=-\frac12$

   这两个临界点把数轴分成 $\left(-\infty,-\tfrac12\right)$、$\left(-\tfrac12,\tfrac23\right)$ 和 $\left(\tfrac23,\infty\right)$。

3. 3

   在每个区间里各取一点试算。 取 $x=-1$：$(2+3)(-2+1)=(5)(-1)=-5<0$。取 $x=0$：$(2)(1)=2>0$。取 $x=1$：$(-1)(3)=-3<0$。所以符号依次是负、正、负。

4. 4

   从二次项系数解释这个符号规律。 展开后首项是 $-6x^2$，也就是一条开口向下的抛物线。开口向下的抛物线在两根之间为正、在两根之外为负 —— 恰好是常见情形的镜像。这里若条件反射地写「取两根之外」，就是最经典的错误。

5. 5

   因为不等号带等号，端点要算进来。 在 $x=-\tfrac12$ 和 $x=\tfrac23$ 处乘积恰好为 $0$，是满足 $\ge0$ 的。所以解集是闭区间

   $-\frac12\le x\le\frac23$

6. 6

   逐点扫描验证。 在 $-3$ 到 $3$ 上取 $6001$ 个点算出乘积，再与所声称的区间比对，每一点都一致 ✓，而两个端点处的值恰好是 $0$ ✓。