解方程 x³ − 245.711x² + 2.764156x + 0.093547 = 0。

Step-by-step solution

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   动笔算之前，先看系数的量级。 对 $x^{3}-245.711x^{2}+2.764156x+0.093547=0$，韦达定理给出根之和是 $245.711$，根之积是 $-0.093547$。和在几百量级、积却只有百分之几，这就逼出一个很大的根加两个贴近 $0$ 的根，而这两组根各自需要一套自己的近似办法。

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   舍掉 $x^{3}$ 求两个小根。 如果 $|x|$ 只有百分之几，那么 $x^{3}$ 是 $10^{-5}$ 量级，跟 $245.711x^{2}$ 相比完全可以忽略。把它丢掉就剩下二次方程 $245.711x^{2}-2.764156x-0.093547=0,$ 它的判别式是 $D=(-2.764156)^{2}+4(245.711)(0.093547)=99.5826660603,\qquad \sqrt{D}=9.9791114865.$ 再用求根公式便得 $x\approx -0.014681792\quad\text{和}\quad x\approx 0.025931414.$

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   用一步牛顿迭代把这两个根修正过来。 被舍掉的 $x^{3}$ 项只会让每个根在小数点后第七位上挪动；对完整的三次式作牛顿迭代 $x\mapsto x-\dfrac{f(x)}{f'(x)}$，收敛到 $x=-0.014681475\qquad\text{和}\qquad x=0.025933162.$ 与二次方程的估计相比，修正量只有 $3.2\times 10^{-7}$ 和 $1.7\times 10^{-6}$，这正是「舍掉 $x^{3}$」当初所承诺的：被忽略的那一项是 $10^{-5}$ 量级，而 $245.711x^{2}$ 这一项是 $10^{-1}$ 量级。

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   大根要用根之和求，别去套三次求根公式。 三个根之和必须等于 $245.711$，所以 $x_{\text{大}}=245.711-\left(-0.014681475+0.025933162\right)=245.699748313.$ 把它代进 $f(x)=x^{3}-245.711x^{2}+2.764156x+0.093547$，结果在十二位有效数字上都是零。

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   用韦达定理的两条关系一起验证。 三个根 $-0.014681475$、$0.025933162$ 和 $245.699748313$ 之和恰好是 $245.711000000$，之积是 $-0.093547$，与要求的 $-c$ 相符。这里真正管用的是乘积那一条：两个小根就算算错了，和的关系也可能照样成立，因为大根会自动把差额吸收掉——只有乘积才能把错误暴露出来。

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   写出解集。 $x=-0.014681475,\qquad x=0.025933162,\qquad x=245.699748313.$ 三个根全是实根，这与曲线的形状一致：它在 $0$ 稍左穿过一次横轴，在 $0$ 稍右再穿一次，最后在很远的 $245.7$ 处穿第三次。