把 (x² + xy + y²)² − 4xy(x² + y²) 完全因式分解。

Step-by-step solution

1. 1

   小心地展开这个平方。 用 $(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2ac+2bc$，取 $a=x^{2}$、$b=xy$、$c=y^{2}$：

   $\left(x^{2}+xy+y^{2}\right)^{2}=x^{4}+x^{2}y^{2}+y^{4}+2x^{3}y+2x^{2}y^{2}+2xy^{3}=x^{4}+2x^{3}y+3x^{2}y^{2}+2xy^{3}+y^{4}.$

   注意 $2ac=2x^{2}y^{2}$ 要和 $b^{2}=x^{2}y^{2}$ 合并，才凑出系数 $3$。

2. 2

   减去第二块。 由于 $4xy\left(x^{2}+y^{2}\right)=4x^{3}y+4xy^{3}$，

   $x^{4}+2x^{3}y+3x^{2}y^{2}+2xy^{3}+y^{4}-4x^{3}y-4xy^{3}=x^{4}-2x^{3}y+3x^{2}y^{2}-2xy^{3}+y^{4}.$

   只有两个奇次交叉项变了号；结果对 $x$ 和 $y$ 依然是对称的，系数 $1,-2,3,-2,1$ 也依然是回文的。

3. 3

   利用这个回文结构。 首尾系数相等的对称四次式，天然适合设成

   $\left(x^{2}+axy+y^{2}\right)\left(x^{2}+bxy+y^{2}\right)=x^{4}+(a+b)x^{3}y+(ab+2)x^{2}y^{2}+(a+b)xy^{3}+y^{4}.$

   它算出来的 $x^{3}y$ 与 $xy^{3}$ 系数恰好相等，而目标式正好就是这个样子，说明这个待定形式的形状选对了。

4. 4

   比较系数并求解。 与 $1,-2,3,-2,1$ 对照：

   $a+b=-2,\qquad ab+2=3\ \Rightarrow\ ab=1.$

   和为 $-2$、积为 $1$ 的那一对数是 $a=b=-1$（判别式 $4-4=0$ 说明它们重合），所以两个因式一模一样：

   $x^{4}-2x^{3}y+3x^{2}y^{2}-2xy^{3}+y^{4}=\left(x^{2}-xy+y^{2}\right)^{2}.$

5. 5

   写出这个恒等式并检验。 于是

   $\left(x^{2}+xy+y^{2}\right)^{2}-4xy\left(x^{2}+y^{2}\right)=\left(x^{2}-xy+y^{2}\right)^{2}.$

   因式 $x^{2}-xy+y^{2}$ 对一切实数 $(x,y)\ne(0,0)$ 都为正，所以整个式子是一个完全平方，永远不会取到负值。在 $(x,y)=(2.4,1.1)$ 处做数值检验：两边都得到 $18.7489$ ✓，另外三组随机取值也吻合到九位数字。