解方程 3.68x³ + 92.3x² − 500 = 0，求出全部三个实根，精确到小数点后四位。

Step-by-step solution

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   注意一次项缺失，而且没有有理根。 多项式 $f(x)=3.68x^{3}+92.3x^{2}-500$ 里没有 $x$ 项，小数系数也排除了漂亮的有理根。所以这些根只能用数值方法去定位 —— 不过到底有几个根，倒是可以先定下来。

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   在足够宽的区间上扫描变号。 把 $f$ 从 $-40$ 到 $20$ 按小步长求值，会看到三次变号，分别在 $x=-24.86$、$x=-2.45$ 和 $x=2.23$ 附近。三次方程最多三个实根，所以这三个全是实根，没有复根。如果只在 $[0,3]$ 上取样 —— 那里 $f(2)=-101.36$、$f(2.5)=+134.375$ —— 就只能找到其中一个。

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   对每个区间做二分。 不断折半直到 $|f|<10^{-9}$：

   $x_{1}\approx-24.861705,\qquad x_{2}\approx-2.450227,\qquad x_{3}\approx 2.230411.$

   那个很大的负根之所以存在，是因为在 $x\approx-25$ 之前一直是 $92.3x^{2}$ 占主导，到那里三次项才反超 —— 不做大范围扫描很容易把它漏掉。

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   用韦达定理检验。 对 $ax^{3}+bx^{2}+cx+d$，各根满足 $\sum x_{i}=-\tfrac{b}{a}$ 和 $\prod x_{i}=-\tfrac{d}{a}$：

   $-24.861705-2.450227+2.230411=-25.081522=-\frac{92.3}{3.68} ✓,$

   $(-24.861705)(-2.450227)(2.230411)=135.8695\approx\frac{500}{3.68} ✓.$

   这是决定性的检验：任何一组根，只要和不等于 $-25.0815$ 就一定是错的，不管单个数值看起来多么像样。

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   代回验证。 $f(-24.861705)=4.5\times10^{-4}$，$f(-2.450227)=-1.6\times10^{-4}$，$f(2.230411)=5.2\times10^{-5}$ ✓。四舍五入到四位小数，三个根是 $-24.8617$、$-2.4502$ 和 $2.2304$；注意正根是 $2.2304$ 而不是 $2.2307$，所以拿粗糙的二分结果多抄几位数是有风险的。