把 |x + 66| 写成分段函数。

Step-by-step solution

1. 1

   从定义出发。 对任意表达式 $A$ 都有

   $|A|=\begin{cases}A,&A\ge0\\-A,&A<0\end{cases}$

   也就是说，绝对值在内部非负时原样保留，在内部为负时取相反数。要用上它，只差一件事：找出内部变号时 $x$ 的取值。

2. 2

   找出分界点。 令内部等于零：

   $x+66=0\qquad\Longrightarrow\qquad x=-66$

   更确切地说，$x+66\ge0$ 当且仅当 $x\ge-66$。这一个数就把实数轴分成了两段。

3. 3

   逐段写出表达式。 当 $x\ge-66$ 时内部非负，绝对值符号直接去掉即可。当 $x<-66$ 时内部为负，要取相反数——而这个负号必须作用到两项上：

   $|x+66|=\begin{cases}x+66,&x\ge-66\\-(x+66)=-x-66,&x<-66\end{cases}$

   把它写成 $-x+66$ 而不是 $-x-66$ 是最典型的错误；老老实实把负号分配进去就不会出错。

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   检查分界处是否连续。 从右边看 $x+66\to0$；从左边看 $-x-66\to0$。$x=-66$ 时两段都在 $0$ 处接上，所以函数连续——图像是一个顶点在 $(-66,0)$ 的 V 形。

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   取几个值验证。 取 $x=0$：$|66|=66$，第一段给出 $0+66=66$ ✓。取 $x=-100$：$|-34|=34$，第二段给出 $100-66=34$ ✓。在 $250$ 个精确有理点上逐点直接求值，与分段形式全部吻合 ✓。另外注意，无论落在哪一段，输出都不会是负数。