解方程 x² + x = 210。

Step-by-step solution

1. 1

   动笔之前先读结构。 左边就是 $x(x+1)$，即两个连续整数之积。所以问题其实是：哪两个连续整数相乘等于 $210$？由 $14\cdot 15=210$ 可以预期 $x=14$——而且还有一个负的镜像解，因为 $(-15)(-14)=210$ 同样成立。

2. 2

   把所有项移到一边。 二次式必须先与零比较，才能做因式分解：

   $x^2+x-210=0$

3. 3

   找出那一对因数。 我们需要两个数，积为 $-210$、和为 $+1$。积为负说明它们必须异号，而绝对值必须相差 $1$：$15$ 和 $-14$ 正好符合，因为

   $15\cdot(-14)=-210,\qquad 15+(-14)=1$

4. 4

   分解并拆开。

   $x^2+x-210=(x+15)(x-14)=0\quad\Rightarrow\quad x+15=0\ \text{或}\ x-14=0$

5. 5

   求解并检验两个根。

   $x=-15\quad\text{或}\quad x=14$

   检验：$14^2+14=196+14=210$ ✓，以及 $(-15)^2+(-15)=225-15=210$ ✓。两个都是有效解；如果题目背景要求这个量必须为正，那就只保留 $x=14$。