化简 (4a⁻⁸b² / (12a⁷b⁻⁴)) 的 0 次幂。

Step-by-step solution

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   先读最外层的运算。 整个分式被取了 $0$ 次幂。按运算顺序，这个指数作用在整个括号上，所以括号内部的结构 —— 不管多复杂 —— 在确认底数不为零之前都无关紧要。

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   套用零指数法则。 对任何非零的量 $u$，

   $u^{0}=1$

   这条法则来自同底数幂相除的法则：$u^{0}=u^{n-n}=\dfrac{u^{n}}{u^{n}}=1$，这也正是必须排除 $u=0$ 的原因 —— 那会要求算 $\tfrac00$。

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   确认底数不为零。 底数是 $\dfrac{4a^{-8}b^{2}}{12a^{7}b^{-4}}$。负指数本身已经要求 $a\neq0$、$b\neq0$，在这些限制下分子 $4a^{-8}b^{2}$ 是若干非零因子之积，因此非零。所以这条法则可以用：

   $\left(\frac{4a^{-8}b^{2}}{12a^{7}b^{-4}}\right)^{0}=1$

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   看看你省下了多少活。 把底数化简会得到 $\dfrac{4}{12}a^{-8-7}b^{2-(-4)}=\dfrac{b^{6}}{3a^{15}}$ —— 结果没错，但在这里毫无必要，因为 $\left(\dfrac{b^{6}}{3a^{15}}\right)^{0}$ 照样是 $1$。先认出外层那个指数，就把一道多步计算变成了一行答案。

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   写出答案及其条件。

   $1,\qquad a\neq0,\ b\neq0$

   答案是纯数字 $1$ —— 不是 $0$，也不是任何含 $a$ 或 $b$ 的式子。快速检验一下：取 $a=b=1$，底数是 $\tfrac4{12}=\tfrac13$，而 $\left(\tfrac13\right)^{0}=1$ ✓。