证明：秩为 r 的矩阵可以写成 r 个秩 1 矩阵之和，但不能写成少于 r 个秩 1 矩阵之和。

Step-by-step solution

1. 1

   把命题拆成两个彼此独立的断言。 「恰好 $r$ 个可行」是一个存在性断言，需要给出构造；「少于 $r$ 个不行」是一个不可能性断言，需要一个不等式。两半用的工具完全不同，而且谁也推不出谁。

2. 2

   先为列空间造一组基。 由 $\operatorname{rank}(A)=r$ 可知 $A$ 的列空间维数是 $r$，所以 $A$ 中存在 $r$ 个线性无关的列 $u_1,\dots,u_r$ 把它张成。于是 $A$ 的每一列 $a_j$ 都是这组基的线性组合

   $a_j=c_{1j}u_1+c_{2j}u_2+\cdots+c_{rj}u_r$

3. 3

   把这些组合打包成矩阵乘积。 把各个 $u_i$ 排成一个 $m\times r$ 矩阵 $U$，把系数排成一个 $r\times n$ 矩阵 $C$，就得到秩分解

   $A=UC$

   这就是整个构造的压缩写法——剩下要做的只是把它读对。

4. 4

   把这个乘积展开成外积之和。 用 $v_i^{T}$ 记 $C$ 的第 $i$ 行，按分块乘法有

   $A=UC=\sum_{i=1}^{r}u_i v_i^{T}$

   每个 $u_iv_i^{T}$ 的每一列都是 $u_i$ 的标量倍，所以它的列空间由单个向量 $u_i$ 张成，$\operatorname{rank}(u_iv_i^{T})=1$。前一半到此证完。

5. 5

   后一半靠秩的次可加性。 对任意矩阵都有 $\operatorname{rank}(B+C)\le\operatorname{rank}(B)+\operatorname{rank}(C)$，因为 $B+C$ 的列空间包含在两个列空间之和里。反复迭代就得到

   $\operatorname{rank}(B_1+\cdots+B_k)\le\sum_{i=1}^{k}\operatorname{rank}(B_i)$

6. 6

   导出矛盾。 假设 $A=B_1+\cdots+B_k$，其中每个 $\operatorname{rank}(B_i)=1$。那么

   $r=\operatorname{rank}(A)\le\underbrace{1+1+\cdots+1}_{k}=k$

   于是 $k\ge r$；$k<r$ 的分解根本不存在。再结合前面的构造，秩 1 加项的最少个数恰好就是 $r$。$\blacksquare$