把 (2x + 1)/(x + 5) − (3x − 2)/(x + 4) 化简成一个分数。

Step-by-step solution

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   先构造公分母。 两个分母 $x+5$ 与 $x+4$ 没有公因式，所以最小公分母就是它们的乘积 $(x+5)(x+4)$。把每个分数的分子分母同乘以对方的分母：

   $\frac{2x+1}{x+5}=\frac{(2x+1)(x+4)}{(x+5)(x+4)},\qquad \frac{3x-2}{x+4}=\frac{(3x-2)(x+5)}{(x+5)(x+4)}.$

   同时记下限制条件 $x\ne-5$ 与 $x\ne-4$，它们要一直带到最终答案里。

2. 2

   展开第一个分子。 逐项相乘（FOIL 法）：

   $(2x+1)(x+4)=2x^{2}+8x+x+4=2x^{2}+9x+4.$

   中间项系数是 $8+1=9$；先把这两个同类项合并再往下做，免得一路拖着一个四项式。

3. 3

   同样展开第二个分子。

   $(3x-2)(x+5)=3x^{2}+15x-2x-10=3x^{2}+13x-10.$

   留意常数项：$(-2)(+5)=-10$，不是 $+10$。

4. 4

   相减时把负号分配到三项上。 错误就扎堆在这一步：

   $\left(2x^{2}+9x+4\right)-\left(3x^{2}+13x-10\right)=2x^{2}+9x+4-3x^{2}-13x+10.$

   第二个括号里每一项的符号都要翻过来，包括 $-10$ 变成 $+10$。合并同类项：

   $-x^{2}-4x+14.$

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   写出结果并作数值检验。 化简后的表达式是

   $\frac{-x^{2}-4x+14}{(x+5)(x+4)}=-\frac{x^{2}+4x-14}{(x+5)(x+4)},\qquad x\ne-5,\,-4.$

   分子在有理数范围内分解不了（它的判别式是 $16+56=72$），所以没有可约的部分。取 $x=2$ 作数值检验：原式给出 $\tfrac57-\tfrac46=0.7143-0.6667=0.04762$，答案给出 $\tfrac{-4-8+14}{7\cdot 6}=\tfrac{2}{42}=0.04762$ ✓。