把表达式 x² + 8xy + 16y² − 4z 改写成更简单的形式。

Step-by-step solution

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   先检验前三项是不是完全平方。 三项式 $A^2 + 2AB + B^2$ 要求首末两项都是平方，中间项是这两者乘积的两倍。这里 $x^2 = (x)^2$、$16y^2 = (4y)^2$，而

   $2 \cdot x \cdot 4y = 8xy$

   与中间项恰好吻合。

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   写出这个平方。

   $x^2 + 8xy + 16y^2 = (x + 4y)^2$

3. 3

   把剩下那一项拼回来。

   $x^2 + 8xy + 16y^2 - 4z = (x + 4y)^2 - 4z$

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   说明为什么到这里就到头了。 $(x+4y)^2 - 4z$ 要成为平方差，前提是 $4z$ 自己也是个平方，即存在某个表达式 $w$ 使 $z = w^2$；那时它才能分解成 $\left(x + 4y - 2w\right)\left(x + 4y + 2w\right)$。而当 $z$ 是不受任何限制的独立变量时，在多项式环里就不存在进一步的分解了。

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   数值核对。 取 $(x, y, z) = (3, -1, 2)$：原式给出 $9 - 24 + 16 - 8 = -7$，而 $(3 - 4)^2 - 8 = 1 - 8 = -7$。取 $(2, 1, 0)$：$4 + 16 + 16 - 0 = 36$，而 $(2+4)^2 = 36$。两处都吻合。