解方程 (2x − 3)² − (x − 1)² = 0。

Step-by-step solution

1. 1

   认出这是平方差结构。 两项已经是一次式的完全平方，所以

   $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B) \qquad \text{其中 } A = 2x - 3, \ B = x - 1$

   完全不用展开，方程立刻就能分解。

2. 2

   写出第一个因式，注意减号要分配进去。

   $A - B = (2x - 3) - (x - 1) = 2x - 3 - x + 1 = x - 2$

   减去 $-1$ 变成 $+1$；忘了这个变号是常见错误，那样就会得出 $x - 4$。

3. 3

   写出第二个因式。

   $A + B = (2x - 3) + (x - 1) = 3x - 4$

   于是方程变成

   $(x - 2)(3x - 4) = 0$

4. 4

   分别解两个一次因式。

   $x - 2 = 0 \ \Rightarrow \ x = 2, \qquad 3x - 4 = 0 \ \Rightarrow \ x = \frac{4}{3}$

5. 5

   两个解都验算。 取 $x = 2$：$(4-3)^2 - (2-1)^2 = 1 - 1 = 0 \ \checkmark$。取 $x = \tfrac43$：$\left(\tfrac83 - 3\right)^2 - \left(\tfrac43 - 1\right)^2 = \tfrac19 - \tfrac19 = 0 \ \checkmark$。从几何上看，$(2x-3)^2 = (x-1)^2$ 就是 $|2x-3| = |x-1|$，两个根正好对应 $2x - 3 = x - 1$ 与 $2x - 3 = -(x-1)$ 这两种情形。