计算以 (9,2,2)、(27,7,7)、(18,5,4) 为行的 3x3 矩阵的行列式。

Step-by-step solution

1. 1

   先找找有没有捷径。 前两行的第二、第三个元素都相等（分别是 $2,2$ 和 $7,7$），这暗示用第 $2$ 列减去第 $3$ 列可以造出零。不过只有三行，直接按第一行作代数余子式展开本来就不长，所以先用展开法，把这个结构留作验算。

2. 2

   写出带正负号交替的代数余子式展开。 沿第一行展开时符号依次是 $+,-,+$：

   $\det=9\begin{vmatrix}7&7\\5&4\end{vmatrix}-2\begin{vmatrix}27&7\\18&4\end{vmatrix}+2\begin{vmatrix}27&7\\18&5\end{vmatrix}$

3. 3

   算出三个二阶子式。

   $\begin{vmatrix}7&7\\5&4\end{vmatrix}=28-35=-7,\quad \begin{vmatrix}27&7\\18&4\end{vmatrix}=108-126=-18,\quad \begin{vmatrix}27&7\\18&5\end{vmatrix}=135-126=9$

4. 4

   合并。

   $\det=9(-7)-2(-18)+2(9)=-63+36+18=-9$

   $\boxed{-9}$

5. 5

   用列变换的捷径复核。 把 $C_2$ 换成 $C_2-C_3$（行列式的值不变），得到

   $\begin{vmatrix}9&0&2\\27&0&7\\18&1&4\end{vmatrix}$

   沿新的第二列展开，只有位置 $(3,2)$ 的元素 $1$ 存活下来，符号为 $(-1)^{3+2}=-1$：

   $\det=-1\begin{vmatrix}9&2\\27&7\end{vmatrix}=-(63-54)=-9$

   两种方法结果一致。