计算并化简：(6x + 5)/(x² − 8x + 12) − 6/(x − 2)。

Step-by-step solution

1. 1

   先把每个分母都分解因式。 千万别没分解就去找公分母——第二个分母通常本来就是第一个的一个因式，这里正是如此：

   $x^{2}-8x+12=(x-2)(x-6),$

   因为 $(-2)+(-6)=-8$ 且 $(-2)(-6)=12$。

2. 2

   直接读出最小公分母。 两个分母是 $(x-2)(x-6)$ 和 $(x-2)$，所以最小公分母就是 $(x-2)(x-6)$——第一个分母本身就是它。只有第二个分数需要通分，补上缺的那个因式 $(x-6)$：

   $\frac{6}{x-2}=\frac{6(x-6)}{(x-2)(x-6)}.$

3. 3

   在公分母上作减法，括号要留着。

   $\frac{6x+5}{(x-2)(x-6)}-\frac{6(x-6)}{(x-2)(x-6)}=\frac{(6x+5)-6(x-6)}{(x-2)(x-6)}.$

4. 4

   小心地展开分子。 那个负号要乘到 $6(x-6)$ 的两项上：

   $(6x+5)-(6x-36)=6x+5-6x+36=41.$

   $6x$ 项互相抵消，只剩下一个纯常数——这强烈暗示这道题本来就是被设计成这样收尾的。

5. 5

   写出化简结果，并注明限制条件。

   $\frac{41}{(x-2)(x-6)}=\frac{41}{x^{2}-8x+12},\qquad x\neq 2,\ x\neq 6.$

   $41$ 是质数，与两个括号都没有公因式，所以这已经是最简形式。

6. 6

   代一个值检验。 取 $x=3$，原式是 $\frac{23}{9-24+12}-\frac{6}{1}=\frac{23}{-3}-6=-\frac{41}{3}$，而答案给出 $\frac{41}{(1)(-3)}=-\frac{41}{3}$。两者一致。