已知 −2 < a < 1，1 < b < 2，下列哪些正确？A：−4 < a − b < 0。B：−2 < ab < 2。C：−2 < a/b < 1。D：ab − 2 < a − 2b。

Step-by-step solution

1. 1

   先把「相减」的正确做法定下来。 不等式可以相加，但不能直接相减；正确的办法是先把第二个取反。由 $1<b<2$ 得 $-2<-b<-1$，再与 $-2<a<1$ 相加得

   $-4<a-b<0$

   所以 A 正确，而且这两个界是紧的（当 $a\to-2,b\to 2$ 以及 $a\to 1,b\to 1$ 时可以逼近）。

2. 2

   B 是错的——要去检查乘积的四个角点。 因为 $a$ 可以取负值，$ab$ 的极值出现在矩形的角点上：$ab$ 从 $(-2)(2)=-4$ 一直取到 $(1)(2)=2$，所以

   $-4<ab<2$

   小于 $-2$ 的值是真会出现的：取 $a=-1.8$、$b=1.9$ 就有 $ab=-3.42$。不正确。

3. 3

   C 是对的。 由于 $b>0$，作除法不改变不等号方向；商在 $a$ 最大、$b$ 最小时最大，在 $a$ 最负、$b$ 最小时最小：

   $\frac{a}{b}>\frac{-2}{1}=-2,\qquad \frac{a}{b}<\frac{1}{1}=1$

   所以 $-2<\dfrac ab<1$。正确。

4. 4

   D 是错的——移项化成一个乘积。 结论 $ab-2<a-2b$ 等价于

   $ab-a+2b-2<0\quad\Longleftrightarrow\quad a(b-1)+2(b-1)<0\quad\Longleftrightarrow\quad (a+2)(b-1)<0$

   但由 $a>-2$ 得 $a+2>0$，由 $b>1$ 得 $b-1>0$，所以对任何允许的取值这个乘积都是正的。于是所给的不等式恒不成立。不正确。

5. 5

   下结论，并取一个样本点验证。

   $\boxed{\text{A 与 C}}$

   取 $a=0$、$b=1.5$：$a-b=-1.5\in(-4,0)$ ✓；$ab=0\in(-4,2)$（它同时也落在 $(-2,2)$ 里，这正是为什么否定 B 必须靠角点检验）；$a/b=0\in(-2,1)$ ✓；而 $ab-2=-2$、$a-2b=-3$，所以 $-2<-3$ 不成立 ✓，D 确实不对。