已知 −1 ≤ x + y ≤ 4 且 2 ≤ x − 6y ≤ 3，求 z = 6x − 8y 的取值范围。

Step-by-step solution

1. 1

   不要分别去界住 x 和 y。 单独界住每个变量再拼回去，一定会把范围放大，因为两个约束之间是相互牵连的。正确的做法是把目标式表示成两个已知式子的线性组合。

2. 2

   列出配凑的式子。 找常数 $\alpha,\beta$ 使

   $6x-8y=\alpha(x+y)+\beta(x-6y).$

   比较系数得到方程组

   $\alpha+\beta=6\ (\text{来自 }x),\qquad \alpha-6\beta=-8\ (\text{来自 }y).$

3. 3

   解出这两个权重。 用第一式减第二式：

   $7\beta=14\ \Longrightarrow\ \beta=2,\qquad \alpha=6-2=4.$

   验算：$4(x+y)+2(x-6y)=4x+4y+2x-12y=6x-8y$ ✓。

4. 4

   把两个已知区间各按权重放大。 两个权重都是正的，所以不等号方向不变：

   $-1\le x+y\le 4\ \Longrightarrow\ -4\le 4(x+y)\le 16,$
   $2\le x-6y\le 3\ \Longrightarrow\ 4\le 2(x-6y)\le 6.$

   如果某个权重解出来是负的，那一条不等式在相加之前必须先反向 —— 这就是这种方法的经典陷阱。

5. 5

   把两个界好的区间相加。

   $-4+4\le z\le 16+6\ \Longrightarrow\ 0\le z\le 22.$

6. 6

   确认两个端点都取得到。 只有两个约束同时取到极端值时，边界才达到。取 $x+y=-1$、$x-6y=2$，得 $x=-\tfrac47$，$y=-\tfrac37$，此时 $z=6(-\tfrac47)-8(-\tfrac37)=-\tfrac{24}{7}+\tfrac{24}{7}=0$。取 $x+y=4$、$x-6y=3$，得 $x=\tfrac{27}{7}$，$y=\tfrac17$，此时 $z=\tfrac{162}{7}-\tfrac{8}{7}=\tfrac{154}{7}=22$。两端都能达到，所以取值范围恰好是 $[0,22]$。