图象给出方程组 y = 2/(x − 2) − 1 与 y = 2|x − 2| − 4。它的完整解是下面哪一组点：(4,0)；(0,0) 与 (4,0)；(0,0)、(0,−2) 与 (4,0)；还是 (0,−2) 与 (4,0)？

Step-by-step solution

1. 1

   令 u = x - 2，把两条曲线共有的平移提出来。 两条曲线都是围绕 $x=2$ 搭起来的，这个换元把它从两边同时消掉：

   $\frac{2}{u}-1=2|u|-4\quad\Longrightarrow\quad \frac{2}{u}+3=2|u|,\qquad u\neq 0.$

   限制条件 $u\neq 0$（也就是 $x\neq 2$）来自第一条曲线的竖直渐近线。

2. 2

   按 u 的符号分类讨论——先看 u > 0。 此时 $|u|=u$，两边同乘 $u>0$ 不改变方程：

   $2+3u=2u^{2}\ \Longrightarrow\ 2u^{2}-3u-2=0\ \Longrightarrow\ (2u+1)(u-2)=0.$

   两个根是 $u=2$ 与 $u=-\tfrac12$；只有 $u=2$ 满足 $u>0$，对应 $x=4$。

3. 3

   再看 u < 0 的情形。 此时 $|u|=-u$，而等式两边同乘一个负的 $u$ 并不需要变号（不等式才需要）：

   $2+3u=-2u^{2}\ \Longrightarrow\ 2u^{2}+3u+2=0.$

   它的判别式是 $9-16=-7<0$，所以没有实根，这一支贡献不出任何解。

4. 4

   求出留下来那个解的 y 值。 在 $x=4$ 处：

   $y=\frac{2}{4-2}-1=1-1=0,\qquad y=2|4-2|-4=4-4=0.$

   两条曲线都给出 $y=0$，所以 $(4,0)$ 确实同时在两条曲线上。

5. 5

   逐个试一下那些干扰选项。 在 $x=0$ 处：第一条曲线给出 $y=\tfrac{2}{-2}-1=-2$，第二条给出 $y=2(2)-4=0$。所以 $(0,0)$ 只在绝对值图象上，$(0,-2)$ 只在分式图象上——两个都不是这个方程组的解。这正是这道题设的坑：一个点只在其中一条曲线上，就不算解，必须同时在两条上。

6. 6

   写出完整解。 这个方程组恰好只有一个解：$(4,0)$。