化简分子为 x² − 9、分母为 x + 3 的分式。

Step-by-step solution

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   化简之前先把定义域记下来。 当 $x+3=0$ 时分母为零，所以原式在 $x=-3$ 处无定义。之所以要先记，是因为化简过程会把这个信息藏起来。

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   用平方差公式分解分子。 把 $9$ 写成 $3^2$，再用 $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$：

   $x^2-9=(x-3)(x+3)$

   正是分解之后才看得见公因式；逐项相消是永远找不到它的。

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   约掉公因式。

   $\frac{(x-3)(x+3)}{x+3}=x-3$

   只要原式有定义，也就是只要 $x+3\neq 0$，这一步就是合法的。

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   把限制条件和答案一起写出来。

   $\frac{x^2-9}{x+3}=x-3,\qquad x\neq -3$

   等号两边并不是同一个函数：左边在 $x=-3$ 处有一个空心点，而直线 $x-3$ 没有。这是可去间断点的标准例子，$\lim_{x\to-3}\frac{x^2-9}{x+3}=-6$ 就是那个空心点「想要」的值。

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   代一个值检验。 取 $x=1$：原式是 $\frac{1-9}{4}=-2$，而 $x-3=-2$ ✓。取 $x=-3$ 时原式是 $\frac00$，无定义，而 $x-3$ 会给出 $-6$ —— 这说明那个限制条件不是可选项。