对任意集合 A、B、C，判断 complement[(A − B) ∪ (B − A)] − [(A ∩ B) − complement(C)] 是否等于 [(A ∩ B) − C] ∪ complement(A ∪ B)。成立就证明，不成立就举反例。

Step-by-step solution

1. 1

   把每个差集都改写成与补集的交。 只用 $X-Y=X\cap\overline{Y}$ 这一条规则，整个式子就变得可以机械化处理：

   $A-B=A\cap\overline{B},\qquad B-A=B\cap\overline{A}$

   于是 $(A-B)\cup(B-A)$ 就是对称差 $A\triangle B$——恰好属于 $A$、$B$ 之一的那些元素。

2. 2

   对对称差取补。 一个元素「不恰好属于 $A,B$ 之一」，当且仅当它同时属于两者，或都不属于：

   $\overline{A\triangle B}=(A\cap B)\cup\overline{(A\cup B)}$

   这是整个证明的结构核心，待证等式右边的两块此时已经浮现出来了。

3. 3

   化简被减掉的那个集合。 利用 $\overline{\overline{C}}=C$，

   $(A\cap B)-\overline{C}=(A\cap B)\cap\overline{\overline{C}}=A\cap B\cap C$

   于是左边化为

   $\Big[(A\cap B)\cup\overline{(A\cup B)}\Big]-\big(A\cap B\cap C\big)$

4. 4

   把减法对并集分配。 差集对并集满足分配律 $(X\cup Y)-Z=(X-Z)\cup(Y-Z)$，于是得到

   $\big[(A\cap B)-(A\cap B\cap C)\big]\cup\big[\overline{(A\cup B)}-(A\cap B\cap C)\big]$

5. 5

   分别化简两块。 第一块：从 $A\cap B$ 中去掉 $A\cap B\cap C$，去掉的恰好是落在 $C$ 里的那部分：

   $(A\cap B)-(A\cap B\cap C)=(A\cap B)-C$

   第二块：$\overline{(A\cup B)}$ 与 $A\cap B$ 不相交（因而与 $A\cap B\cap C$ 也不相交），所以减去这个集合什么都没减掉：

   $\overline{(A\cup B)}-(A\cap B\cap C)=\overline{(A\cup B)}$

6. 6

   得出结论。 把两块拼回去，

   $\text{LHS}=\big[(A\cap B)-C\big]\cup\overline{(A\cup B)}=\text{RHS}$

   $\boxed{\text{该恒等式对一切集合 }A,B,C\text{ 都成立}}$

   注意整个过程没有用到任何附加条件——恒等式是无条件成立的。

7. 7

   用穷举归属情况来验证。 按元素是否属于 $A$、$B$、$C$，每个元素落在 $8$ 个区域之一。逐一检验这八种情形：属于 $A\cap B$ 的元素，两边都包含它当且仅当它在 $C$ 之外；在 $A\cup B$ 之外的元素，两边总是都包含它；恰好属于 $A,B$ 之一的元素，两边都不包含它（左边被那个取补的对称差排除掉，右边两块也都装不下它）。八种情形全部吻合，印证了前面的代数推导。