把 x²(x − y) + (y − x) 完全分解因式。

Step-by-step solution

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   注意两个括号「差一点」就一样。 式子里出现了 $(x-y)$ 和 $(y-x)$——它们并不相同，而是互为相反数。这是分组分解时的经典障碍，破解办法是翻一个符号，而不是把括号统统展开。

2. 2

   把第二个括号翻过来。 由于

   $y-x=-(x-y)$

   原式变成

   $x^2(x-y)-(x-y)$

   现在两项共有完全相同的因式 $(x-y)$。

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   提出公共括号。 把第二项写成 $1\cdot(x-y)$，系数就显式摆出来了：

   $x^2(x-y)-1(x-y)=(x-y)\left(x^2-1\right)$

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   认出平方差。 $x^2-1=x^2-1^2$，于是由 $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ 得

   $x^2-1=(x-1)(x+1)$

   如果答案停在 $(x-y)(x^2-1)$，分解就还不算彻底。

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   写出完全分解式。

   $x^2(x-y)+(y-x)=(x-y)(x-1)(x+1)$

   三个一次因式，所以原式恰好在 $x=y$、$x=1$ 或 $x=-1$ 时为零。

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   先数值验证，再展开核对。 在 $[-4,4]$ 内随机取 $60$ 组 $(x,y)$ 测试，每一点都在机器精度内一致 ✓。抽查 $x=3,y=1$：原式为 $9(2)+(1-3)=18-2=16$，分解式为 $(2)(2)(4)=16$ ✓。