把 x³ − 3x² + 5x + 1 在有理数范围内因式分解，或说明它不能分解，并判断它有几个实根。

Step-by-step solution

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   先列出并逐个检验可能的有理根。 常数项是 $1$，首项系数也是 $1$，所以候选只有 $x=\pm1$：

   $f(1)=1-3+5+1=4,\qquad f(-1)=-1-3-5+1=-8$

   都不为零。既然没有有理根，就没有有理系数的一次因式；而三次式一旦能分解就必然含有一个一次因式，所以这个多项式在 $\mathbb{Q}$ 上不可约。

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   求导，考察函数的形状。

   $f'(x)=3x^2-6x+5$

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   证明导数永不为零。 它的判别式是

   $(-6)^2-4(3)(5)=36-60=-24<0$

   所以 $f'$ 没有实根；又因为它的首项系数 $3$ 为正，故对每一个实数 $x$ 都有 $f'(x)>0$。配方后一目了然：$3x^2-6x+5=3(x-1)^2+2\ge2>0$。

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   由此断定实根恰有一个。 严格递增的函数与任何一条水平线至多交一次，而三次函数与 $y=0$ 至少要交一次。所以 $f$ 恰有一个实根——另外两个则是一对共轭复根。顺带对照一下 $x^3-5x^2+3x+2$：它同样在 $\mathbb{Q}$ 上不可约，却有三个实根。可见不可约性对「有几个根是实的」这件事什么也没说。

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   把实根的位置定出来。 由 $f(-1)=-8<0$ 而 $f(0)=1>0$，可知根落在 $(-1,0)$ 内。在细网格上二分求得

   $x\approx-0.1795$

   验算：$f(-0.1795)=-0.00578+(-0.09666)+(-0.8975)+1=0.0000$，四位小数下为零 ✓。

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   把两个结论都做数值验证。 在 $[-10,10]$ 上扫 $200{,}001$ 个点，恰好只找到一次变号 ✓；再把 $f'(x)=3x^2-6x+5$ 在从 $-10$ 到 $10$ 的 $2000$ 个点上求值，个个为正，最小值 $2$ 出现在 $x=1$ 处 ✓。