求区间 (−∞, −10] 与 [−10, 8) 的交集。

Step-by-step solution

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   先把每个区间翻译成不等式。 $(-\infty, -10]$ 就是 $\{x : x \le -10\}$，$[-10, 8)$ 就是 $\{x : -10 \le x < 8\}$。括号的形状很关键：方括号包含端点，圆括号不包含。

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   把两个条件取交。 同时属于两个集合的数必须同时满足 $x \le -10$ 和 $x \ge -10$，这就逼出

   $x = -10$

   第三个条件 $x < 8$ 于是自动成立。

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   确认这个端点确实被包含在内。 $-10$ 属于第一个区间，因为它的右端是闭的；也属于第二个区间，因为它的左端是闭的。只要其中任何一端换成圆括号，交集就会变成空集。

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   把两种写法都写出来。 作为集合是 $\{-10\}$；作为区间，则是退化的闭区间

   $[-10,\, -10]$

   它的长度是 $0$，但并不是空集 —— 这个区别值得分清楚。

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   再和并集对照一下。 这两个区间的并集是 $(-\infty, 8)$，因为它们合起来覆盖了 $8$ 以下的全部数。交集之所以缩成一个点，恰恰是因为两个区间只是首尾相接，而不是有一段重叠。