分解因式 x² − 2xy + y² − 9。

Step-by-step solution

1. 1

   找一种能凑出平方的分组。 面对四项，直觉是按 $2+2$ 去拆——但这里真正该抱团的是前三项，因为 $x^2-2xy+y^2$ 正是完全平方的经典模样：两个平方项，加上等于它们平方根乘积 $-2$ 倍的中间项。

2. 2

   把前三项合起来。

   $x^2-2xy+y^2=(x-y)^2$

   于是原式变成

   $(x-y)^2-9$

   看上去是两个字母的问题，现在成了只关于单个量 $x-y$ 的一元问题。

3. 3

   认出平方差。 因为 $9=3^2$，这就是 $A^2-B^2$，其中 $A=x-y$，$B=3$，而

   $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$

4. 4

   代回去，写出两个因式。

   $(x-y)^2-3^2=\bigl((x-y)-3\bigr)\bigl((x-y)+3\bigr)=(x-y-3)(x-y+3)$

5. 5

   确认分解已经彻底。 两个因式关于 $x$ 和 $y$ 都是一次的，再也拆不动了。顺带一提，原式恰好在两条平行直线 $x-y=3$ 与 $x-y=-3$ 上取零——这是答案的几何解读。

6. 6

   做数值验证。 在 $[-6,6]$ 内随机取 $60$ 组 $(x,y)$，把原式与乘积逐点比较，每一点都在机器精度内一致 ✓。抽查 $x=5,y=1$：原式 $=25-10+1-9=7$，而 $(5-1-3)(5-1+3)=(1)(7)=7$ ✓。