求 3x² − 5 除以 x + 1 所得的商与余数。

Step-by-step solution

1. 1

   做除法之前先补上缺项。 被除式里没有 $x$ 项，而长除法要求每一列都在场：

   $3x^{2}-5=3x^{2}+0x-5.$

   漏掉这个占位项，是余数算错的头号原因。

2. 2

   用首项去除首项。

   $\frac{3x^{2}}{x}=3x,$

   所以商的第一项是 $3x$。乘回去再相减：

   $\left(3x^{2}+0x\right)-3x(x+1)=\left(3x^{2}+0x\right)-\left(3x^{2}+3x\right)=-3x.$

3. 3

   落下一项，重复一次。 现在的工作行是 $-3x-5$。再用首项除首项：

   $\frac{-3x}{x}=-3,$

   所以商里再添一项 $-3$。乘回去再相减：

   $(-3x-5)-(-3)(x+1)=(-3x-5)-(-3x-3)=-2.$

4. 4

   次数低于除式次数时就停。 剩下的 $-2$ 是 $0$ 次，低于 $x+1$ 的 $1$ 次，所以除法到此结束：

   $\text{商}=3x-3,\qquad \text{余数}=-2.$

5. 5

   乘回去检验。

   $(x+1)(3x-3)+(-2)=3x^{2}-3x+3x-3-2=3x^{2}-5\ \checkmark$

6. 6

   再用余数定理交叉验证。 除以 $x+1$ 相当于在 $x=-1$ 处求值：

   $f(-1)=3(-1)^{2}-5=3-5=-2,$

   与长除法算出的余数完全一致。