解方程 |7x − 1| = 3。

Step-by-step solution

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   先确认右边非负。 绝对值永远不可能是负数，所以 $|A|=c$ 只有在 $c\ge 0$ 时才有解。这里 $c=3>0$，意味着恰好有两个解（右边等于 $0$ 会只有一个解，右边为负则完全无解）。

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   拆成两种情况。 $|A|=3$ 表示绝对值里面的量要么比零大 $3$，要么比零小 $3$：

   $7x-1=3\qquad\text{或}\qquad 7x-1=-3$

   两个都得解；只解正的那一支、把负的那一支丢掉，是最常见的错误。

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   解正的那一支。

   $7x-1=3\;\Longrightarrow\;7x=4\;\Longrightarrow\;x=\frac47$

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   解负的那一支。

   $7x-1=-3\;\Longrightarrow\;7x=-2\;\Longrightarrow\;x=-\frac27$

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   代回验算，并留意对称性。 当 $x=\frac47$：$\left|7\cdot\frac47-1\right|=|4-1|=3$ ✓。当 $x=-\frac27$：$\left|7\cdot\left(-\frac27\right)-1\right|=|-2-1|=3$ ✓。两根的中点是 $\frac12\left(\frac47-\frac27\right)=\frac17$，正是 $7x-1=0$ 的位置，两根各距它 $\frac37$——这正是我们预期的镜像分布。