解方程 (1+x)³⁶ + (1+x)³⁵ + (1+x)³⁴ + (1+x)³³ + (1+x)³² + (1+x)³¹ + (1+x)³⁰ + (1+x)²⁹ + (1+x)²⁸ + (1+x)²⁷ = 70/3。

Step-by-step solution

1. 1

   换元，把等比结构显出来。 令 $y = 1 + x$。这十项就是 $y$ 的连续幂次，于是

   $y^{27} + y^{28} + \cdots + y^{36} = \frac{70}{3}$

   换成 $y$ 之后，原本看着零散的一堆项立刻变成一条等比级数，也就省去了展开二项式的冲动。

2. 2

   提出最低次幂，再套等比求和公式。

   $y^{27}\left(1 + y + y^2 + \cdots + y^9\right) = y^{27}\cdot\frac{y^{10} - 1}{y - 1} = \frac{70}{3}, \qquad y \ne 1$

   括号里是一条公比为 $y$ 的 $10$ 项等比级数。

3. 3

   先在 y = 1 处取值，把根框住。 当 $y = 1$ 时每一项都是 $1$，左边恰好等于 $10$。既然 $\frac{70}{3} \approx 23.33 > 10$，而这个和在 $y > 0$ 上严格递增（每个 $y^n$ 都递增），根就必须满足 $y > 1$，也就是 $x > 0$。严格单调同时保证了这样的根有且只有一个。

4. 4

   数值上把根夹出来。 取 $f(y) = \sum_{n=27}^{36} y^n$ 逐个试算：

   $f(1.02) \approx 18.69, \qquad f(1.025) \approx 21.82, \qquad f(1.03) \approx 25.46$

   可见根落在 $1.025$ 与 $1.03$ 之间，而且略偏左，因为 $f$ 涨得很陡（在 $y = 1.03$ 附近导数大约是 $785$）。

5. 5

   加密精度再换回 x。 二分到足够精度得到

   $y \approx 1.0271668 \ \Longrightarrow \ x = y - 1 \approx 0.0271668$

   验算：$\sum_{n=27}^{36}(1.0271668)^n = 23.333346$，与 $\frac{70}{3} = 23.333333$ 在六位有效数字上吻合。要是把中间量 $y$ 四舍五入到三位小数（$1.028$），和马上就跳到约 $23.94$，所以多留几位是必要的。

6. 6

   说明一下为什么没有闭式解。 这个方程归结为一个 $36$ 次多项式，既没有有理根，也没有分圆多项式那样的结构，所以数值根就是最终答案。单调性论证只覆盖 $y>0$：$y<0$ 时奇次幂变成负的，和不再递增。把它在 $[-3,3]$ 上扫一遍，会发现第二处变号——$f(-1.11)=14.59$、$f(-1.15)=61.67$ 把 $70/3$ 夹在中间——二分得 $y\approx-1.1226359$，也就是 $x\approx-2.1226359$。所以这个方程有两个实数解；只停在正根上会丢掉一半答案。