解不等式 x² − 2x > 3。

Step-by-step solution

1. 1

   先把所有项移到一边。 只有当不等式拿一个表达式与零比较时，符号分析才用得上：

   $x^2-2x-3>0$

2. 2

   把二次式因式分解。 乘积为 $-3$、和为 $-2$ 的两个数是 $-3$ 和 $1$：

   $x^2-2x-3=(x-3)(x+1)>0$

3. 3

   找出临界点。 两个因式分别在 $x=3$ 和 $x=-1$ 处为零，把数轴分成三段：$(-\infty,-1)$、$(-1,3)$ 和 $(3,\infty)$。

4. 4

   逐段判号。 当 $x<-1$ 时两个因式都为负，乘积为正；在两根之间两个因式异号，乘积为负；当 $x>3$ 时两个都为正。从图形也能得到同样结论：开口向上的抛物线在两根之外位于横轴上方。

5. 5

   写出解集并检验。 我们要的是乘积为正，所以

   $x<-1\quad\text{或}\quad x>3,\qquad\text{即 }(-\infty,-1)\cup(3,\infty)$

   取 $x=-2$：$4+4=8>3$ $\checkmark$。取 $x=0$：$0>3$ 不成立 $\checkmark$。取 $x=4$：$16-8=8>3$ $\checkmark$。端点要排除，因为在那里 $x^2-2x=3$ 恰好取等。