解方程 sqrt(4 + 2x - x^2) = x - 2。

Step-by-step solution

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   平方之前先把符号条件写下来。 实数范围内算术平方根永远非负，所以不管 $x$ 最后是多少，右边都必须满足

   $x-2\ge 0\quad\Longrightarrow\quad x\ge 2$

   现在就把这个条件记下来，后面才能干脆地把假根扔掉，而不会被它蒙住。

2. 2

   两边平方。 平方不是可逆变形，可能凭空造出并不满足原方程的解——这正是上一步存在的意义：

   $4+2x-x^{2}=(x-2)^{2}=x^{2}-4x+4$

3. 3

   移项到一边，再因式分解。

   $4+2x-x^{2}-x^{2}+4x-4=0\quad\Longrightarrow\quad 6x-2x^{2}=0$

   $2x(3-x)=0\quad\Longrightarrow\quad x=0\ \text{或}\ x=3$

4. 4

   用条件 $x\ge2$ 筛选候选值。 $x=0$ 立刻就不满足这个条件。真代进去也能看出问题所在：左边是 $\sqrt{4}=2$，右边却是 $0-2=-2$，$2=-2$ 显然不成立。它是平方带来的产物，不是解。

5. 5

   把留下来的候选值代回原方程检验。 当 $x=3$ 时，根号内是 $4+6-9=1$，所以左边为 $\sqrt{1}=1$；右边为 $3-2=1$。两边都等于 $1$，所以 $x=3$ 是真解。

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   写出结论。

   $x=3$