解一元二次方程 −10x² + 5x + 19 = 0。

Step-by-step solution

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   系数照原样读出来就行。 取 $a = -10$、$b = 5$、$c = 19$，不必先两边同乘 $-1$——只要把负号一并带进 $2a$ 里，求根公式本来就能直接处理负的二次项系数。

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   算判别式。

   $b^2 - 4ac = 25 - 4(-10)(19) = 25 + 760 = 785$

   它是正的，所以有两个互不相同的实根。$-4ac$ 里的双重负号是符号错误最容易钻进来的地方：$-4 \times (-10) \times 19$ 等于 $+760$，不是 $-760$。

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   看看根号能不能化简。 $785 = 5 \times 157$，而 $157$ 是质数。两个因数都不重复，所以 $\sqrt{785}$ 里没有完全平方因子可以提出来，只能原样保留；数值上 $\sqrt{785} \approx 28.017851$。

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   代入公式，并把符号整理干净。

   $x = \frac{-5 \pm \sqrt{785}}{2(-10)} = \frac{-5 \pm \sqrt{785}}{-20} = \frac{5 \mp \sqrt{785}}{20}$

   反正 $\pm$ 已经把两种符号都包含进去了，所以这与 $\dfrac{5 \pm \sqrt{785}}{20}$ 是同一个解集。

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   算出数值，并用韦达定理验证。

   $x_1 = \frac{5 + 28.017851}{20} \approx 1.650893, \qquad x_2 = \frac{5 - 28.017851}{20} \approx -1.150893$

   两根之和是 $0.500000 = -\tfrac{b}{a} = \tfrac{5}{10}$，两根之积是 $-1.900000 = \tfrac{c}{a} = \tfrac{19}{-10}$。把 $x_1$ 代回原方程，结果为 $0$，误差在 $4 \times 10^{-15}$ 以内。