解不等式 x² log₂(x) < 100000000。

Step-by-step solution

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   先把定义域定下来。 $\log_{2}x$ 要求 $x>0$，所以整个讨论都在 $(0,\infty)$ 上进行。任何把负的 $x$ 或 $x=0$ 算进去的答案，还没开始分析就已经错了。

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   把 $0<x\le 1$ 单独处理——这一段几乎不费力。 在 $(0,1)$ 上 $\log_{2}x<0$ 而 $x^{2}>0$，乘积为负，当然小于 $10^{8}$；例如 $x=0.5$ 时左边是 $-0.25$。$x=1$ 时左边恰为 $0$。所以整个 $(0,1]$ 都满足不等式。

3. 3

   证明左边在 $x>1$ 上严格递增。 对 $h(x)=x^{2}\log_{2}x=\dfrac{x^{2}\ln x}{\ln 2}$ 求导得 $h'(x)=\frac{2x\ln x+x}{\ln 2}=\frac{x\left(2\ln x+1\right)}{\ln 2},$ 只要 $\ln x>-\tfrac12$ 它就为正，因此对所有 $x>1$ 都为正。严格递增的函数与水平线 $10^{8}$ 恰好相交一次，所以解集必然是单个区间 $(0,x_{0})$。

4. 4

   把交点夹住。 计算 $h$ 的几个值： $h(2900)=96\,730\,450.73,\qquad h(2945)=99\,948\,390.39,\qquad h(2946)=100\,020\,529.48,\qquad h(3000)=103\,956\,721.07.$ $h(x)-10^{8}$ 的符号在 $2945$ 与 $2946$ 之间翻转，所以 $x_{0}$ 就落在这一段里。这一步要小心：估到 $2954$ 附近就已经越过边界了，因为 $h(2954.5)=100\,634\,817$。

5. 5

   用二分法逼近交点。 对区间 $[2945,2946]$ 反复二分，得到 $x_{0}=2945.715457.$ 验一下：$x_{0}^{2}=8\,677\,239.5517$，$\log_{2}x_{0}=11.524402364$，两者相乘为 $100\,000\,000.0000$——所以 $x_{0}$ 确实是 $x^{2}\log_{2}x=10^{8}$ 的根。

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   拼出解集。 把两段合起来， $0<x<2945.715457,$ 即 $x\in\left(0,\,2945.715457\right)$（保留六位小数）。端点不含在内，因为不等号是严格的。