解方程组 x₂ + 4x₃ = −4，x₁ + 3x₂ + 3x₃ = −2，3x₁ + 7x₂ + 5x₃ = 6。

Step-by-step solution

1. 1

   写出增广矩阵，并把变量顺序固定下来。 列依次对应 $x_1,x_2,x_3$ 和常数项，第一个方程里没有 $x_1$，所以它这一位补 $0$： $\left[\begin{array}{ccc|c} 0&1&4&-4\\ 1&3&3&-2\\ 3&7&5&6 \end{array}\right]$

2. 2

   交换两行，让第一个主元是 1。 把 $R_1$ 和 $R_2$ 互换，左上角就成了首元 $1$，后面也不会出现分数： $\left[\begin{array}{ccc|c} 1&3&3&-2\\ 0&1&4&-4\\ 3&7&5&6 \end{array}\right]$

3. 3

   把第一个主元下方消成零。 $R_3 \leftarrow R_3-3R_1$ 得 $[3,7,5\mid 6]-3[1,3,3\mid -2] = [0,-2,-4\mid 12]$，于是第三行变成 $0,-2,-4\mid 12$。第二个主元在 $R_2$ 里已经是 $1$ 了。

4. 4

   把第二个主元下方消成零。 $R_3 \leftarrow R_3+2R_2$ 得 $[0,-2,-4\mid12]+2[0,1,4\mid-4] = [0,0,4\mid4]$。再乘 $\tfrac14$ 得 $[0,0,1\mid1]$，所以 $x_3 = 1$ —— 矩阵到这里已经是行阶梯形了。

5. 5

   回代，把主元上方也消成零。 $R_2 \leftarrow R_2-4R_3$ 把 $[0,1,4\mid-4]$ 变成 $[0,1,0\mid-8]$；$R_1 \leftarrow R_1-3R_3$ 把 $[1,3,3\mid-2]$ 变成 $[1,3,0\mid-5]$；最后 $R_1 \leftarrow R_1-3R_2$ 得 $[1,0,0\mid19]$。

6. 6

   读出唯一解并验算。 化简后的矩阵是单位矩阵加上一列 $(19,-8,1)$，所以 $x_1=19$，$x_2=-8$，$x_3=1$。把三个原方程都代进去检查：$-8+4(1)=-4$；$19+3(-8)+3(1)=19-24+3=-2$；$3(19)+7(-8)+5(1)=57-56+5=6$。三个未知数配三个主元，说明解是唯一的。