求函数 f(x) = 1 / (8/(x − 5) − 2) 的定义域，并用区间表示。

Step-by-step solution

1. 1

   要数的是分母的个数，而不是分式的个数。 繁分式可能出问题的地方不止一处。这个函数有两处：内层分母 $x-5$，以及外层分母 $\frac{8}{x-5}-2$。两者都必须非零，各自给出一个要排除的值。

2. 2

   限制条件一——内层分母。 $\frac{8}{x-5}$ 要求

   $x-5\ne 0\quad\Longrightarrow\quad x\ne 5.$

3. 3

   限制条件二——外层分母。 令外层分母等于零解出来，再把这个根排除：

   $\frac{8}{x-5}-2=0\ \Longrightarrow\ \frac{8}{x-5}=2\ \Longrightarrow\ 8=2(x-5)\ \Longrightarrow\ x=9,$

   所以 $x\ne 9$。

4. 4

   为什么必须先找限制条件、后化简。 分子分母同乘 $x-5$，会得到一个很干净的形式

   $f(x)=\frac{x-5}{8-2(x-5)}=\frac{x-5}{18-2x}.$

   这个形式仍然能看出 $x\ne 9$（因为 $18-2x$ 在 $x=9$ 处为零），但它已经把 $x\ne 5$ 这个限制彻底弄丢了。先化简、再从化简后的式子里读定义域，正是这类题最典型的错法。

5. 5

   把定义域写成区间形式。 从实数轴上挖掉这两个孤立点，剩下三个开区间：

   $(-\infty,5)\cup(5,9)\cup(9,\infty).$