展开并化简 [2x − (√2)x − 1][2x + (√2)x − 1]。

Step-by-step solution

1. 1

   先把每个括号里含 x 的项合并。 $2x$ 与 $\sqrt2\,x$ 都是 $x$ 的倍数，所以各自把 $x$ 提出来：

   $\left[(2 - \sqrt2)x - 1\right]\left[(2 + \sqrt2)x - 1\right]$

   这么一写，两个括号形状相同就一目了然了，区别只在 $x$ 的系数是共轭的一对 $2 - \sqrt2$ 与 $2 + \sqrt2$。

2. 2

   用乘法分配律展开。 逐项相乘：

   $= (2-\sqrt2)(2+\sqrt2)x^2 - (2-\sqrt2)x - (2+\sqrt2)x + 1$

   中间两项先别急着合并；根号正是在那里抵消掉的。

3. 3

   用共轭之积算出 x² 的系数。 由 $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$，

   $(2-\sqrt2)(2+\sqrt2) = 2^2 - \left(\sqrt2\right)^2 = 4 - 2 = 2$

   所以二次项是 $2x^2$——尽管两个因子各自都是无理数，系数却是有理数。这正是共轭配对带来的好处。

4. 4

   把两个一次项合起来。 两处根号的符号相反，恰好抵消：

   $-(2-\sqrt2)x - (2+\sqrt2)x = \left(-2 + \sqrt2 - 2 - \sqrt2\right)x = -4x$

5. 5

   拼出结果并做合理性检验。

   $\left[(2-\sqrt2)x - 1\right]\left[(2+\sqrt2)x - 1\right] = 2x^2 - 4x + 1$

   取 $x = 1$ 试算：左边是 $(1-\sqrt2)(1+\sqrt2) = 1 - 2 = -1$，右边是 $2 - 4 + 1 = -1$。另外，$2x^2 - 4x + 1$ 的两个根是 $x = \frac{2 \pm \sqrt2}{2}$，恰好是 $2 \mp \sqrt2$ 的倒数，这也正是分解形式所预示的。