解四次方程 x⁴ − 16x³ + 66x² − 16x − 35 = 0。

Step-by-step solution

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   先找有没有反复出现的二次块。 $-16$ 的一半是 $-8$，而 $(x^2-8x)^2 = x^4 - 16x^3 + 64x^2$ 已经把最高的三项复现得只差一点余量。这就提示我们换元

   $t = x^2 - 8x$

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   把四次式改写成 t 的式子。 减掉上面那个展开式：

   $x^4 - 16x^3 + 66x^2 - 16x - 35 = \left(x^2-8x\right)^2 + 2x^2 - 16x - 35 = t^2 + 2t - 35$

   最关键的巧合是：剩下的 $2x^2 - 16x$ 恰好就是 $2t$，所以没有任何多余的 $x$ 残留。$x$ 的四次式就此变成 $t$ 的二次式。

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   解 t 的二次方程。 乘积为 $-35$、和为 $+2$ 的两个数是 $+7$ 和 $-5$：

   $t^2 + 2t - 35 = (t+7)(t-5) = 0 \quad \Longrightarrow \quad t = -7 \ \text{或} \ t = 5$

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   换回成两个关于 x 的二次方程。

   $x^2 - 8x = -7 \ \Longrightarrow \ x^2 - 8x + 7 = 0$

   $x^2 - 8x = 5 \ \Longrightarrow \ x^2 - 8x - 5 = 0$

   等价地说，$x^4-16x^3+66x^2-16x-35 = \left(x^2-8x+7\right)\left(x^2-8x-5\right)$，展开回去正好就是原式。

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   逐个解这两个二次方程。 第一个在整数范围内就能分解：

   $x^2 - 8x + 7 = (x-1)(x-7) = 0 \quad \Longrightarrow \quad x = 1 \ \text{或} \ x = 7$

   第二个要配方，因为 $\Delta = 64 + 20 = 84$ 不是完全平方数：

   $(x-4)^2 = 21 \quad \Longrightarrow \quad x = 4 \pm \sqrt{21}$

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   汇总并检验这四个实根。

   $x = 1,\quad x = 7,\quad x = 4 + \sqrt{21} \approx 8.5826,\quad x = 4 - \sqrt{21} \approx -0.5826$

   四个根全是实数。用韦达定理检验：四根之和为 $1 + 7 + 8 = 16 = -(-16)/1$，四根之积为 $7 \cdot (16-21) = -35$，与常数项相符。把 $x = 4+\sqrt{21}$ 数值代回，结果精确到小数后十二位都是 $0$。