求 0 = 0.7x + 6.804e−10 · x⁴ − 1210.23 的所有实数解。

Step-by-step solution

1. 1

   把它写成四次方程的标准形式。 按次数重排，

   $6.804\times10^{-10}\,x^{4}+0.7x-1210.23=0.$

   式中没有 $x^{3}$ 和 $x^{2}$ 项，但这并不意味着可以换元求解——那个奇次的 $x^{1}$ 项挡住了化为双二次方程的路。

2. 2

   别顺手把四次项丢掉。 因为 $6.804\times10^{-10}$ 看起来微不足道，很容易想直接解 $0.7x=1210.23$ 然后报出 $x\approx 1728.9$。这是错的：在 $x=1728.9$ 处，四次项等于

   $6.804\times10^{-10}\times(1728.9)^{4}\approx 6079,$

   是常数项 $1210.23$ 的五倍，根本不是什么小修正。$x$ 一大，小系数就不再等于小项了——这里的分水岭大约在 $x\approx 1000$，远低于那个想当然的估计。

3. 3

   抽样把根圈出来。 计算 $f(x)=6.804\times10^{-10}x^{4}+0.7x-1210.23$：

   $f(0)=-1210.23,\quad f(500)=-817.71,\quad f(1000)=+170.17,\quad f(1500)=+3284.30.$

   可见 $(500,1000)$ 内有一个根。在 $[-5000,5000]$ 上扫一遍，恰好找到两处变号：一处在 $947$ 附近，一处在 $-1332$ 附近——这个四次方程有两个实根和两个复根。

4. 4

   对每个区间做二分。 反复取中点，直到 $|f|<10^{-6}$：

   $x_{+}\approx 947.035581,\qquad x_{-}\approx-1332.142808.$

   从 $x_{0}=1000$ 出发用牛顿法，取 $f'(x)=2.7216\times10^{-9}x^{3}+0.7$，三次迭代就收敛到同一个正根。

5. 5

   把两个根代回原方程。 在 $x=947.035581$ 处：四次项是 $547.31$，一次项是 $662.92$，与 $-1210.23$ 相加得 $\approx-3\times10^{-7}$ ✓。在 $x=-1332.142808$ 处：四次项是 $2142.73$，一次项是 $-932.50$，同样把常数项抵消掉 ✓。注意在真正的根处两项的量级是相当的——这恰好与那个导出 $1728.9$ 的假设相反。