求 (2x + 3)² − (2x − 1)² − 6x 在 x = 1 处的值。

Step-by-step solution

1. 1

   先直接代入算一遍。 取 $x=1$，

   $(2+3)^{2}-(2-1)^{2}-6=5^{2}-1^{2}-6=25-1-6=18.$

   题目到这里算是答完了，但这样做把式子的结构藏了起来——而结构恰恰是防止算错的那道保险。

2. 2

   换用平方差公式再做一遍。 前两项是 $A^{2}-B^{2}=(A+B)(A-B)$ 的形式，其中 $A=2x+3$、$B=2x-1$：

   $A+B=4x+2,\qquad A-B=(2x+3)-(2x-1)=4.$

   $A-B$ 里含 $x$ 的项互相抵消了，这正是这个分解在本题特别管用的原因。

3. 3

   把整个式子化简。

   $(4x+2)(4)-6x=16x+8-6x=10x+8.$

   看上去像二次式的原式，其实是一次式——两个 $4x^{2}$ 已经抵消掉了。

4. 4

   代入化简之后的式子。

   $10(1)+8=18,$

   与直接代入的结果一致。

5. 5

   再取一个点，确认化简没有出错。 当 $x=3$ 时，原式给出 $(9)^{2}-(5)^{2}-18=81-25-18=38$，化简式给出 $10(3)+8=38$ ✓。由于 $10x+8$ 在两个点上都吻合，而两个表达式在抵消之后都是次数不超过一次的多项式，所以它们就是同一个函数。