解方程 x⁴ − 6x² + 8 = 0。

Step-by-step solution

1. 1

   认出这是伪装过的二次方程。 式中只出现 $x$ 的偶次幂，而且 $x^4=(x^2)^2$。令

   $u=x^2$

   四次方程就变成了普通的二次方程 —— 这种形式叫双二次方程。

2. 2

   解关于 $u$ 的二次方程。 我们要找积为 $8$、和为 $-6$ 的两个数，也就是 $-2$ 和 $-4$：

   $u^2-6u+8=(u-2)(u-4)=0\quad\Longrightarrow\quad u=2\ \text{或}\ u=4$

3. 3

   回代并开方。 每一个正的 $u$ 值都对应两个 $x$ 值：

   $x^2=2\Rightarrow x=\pm\sqrt2,\qquad x^2=4\Rightarrow x=\pm 2$

   两个 $u$ 值都是正的，这就是四个根全为实数的原因。若某个 $u$ 为负，它给出的就会是虚根。

4. 4

   挑一个无理根和一个整数根来检验。 当 $x=\sqrt2$：$x^4=4$、$6x^2=12$，所以 $4-12+8=0$ $\checkmark$。当 $x=2$：$16-24+8=0$ $\checkmark$。

5. 5

   确认根的个数。 四次多项式最多有四个根，而分解式

   $x^4-6x^2+8=(x^2-2)(x^2-4)=(x-\sqrt2)(x+\sqrt2)(x-2)(x+2)$

   把四个根都摆了出来，所以一个也没漏。